Planos Paralelos aos eixos e aos Planos coordenados

     Considerando a equação ax + by + cz +d = 0, em que a.b e c são não nulos, temos a equação de um plano genérico π, sendo o vetor n = (a,b,c) um vetor normal (perpendicular) a π. Quando d = 0 ou uma ou duas componentes de n são nulas, temos casos particulares que serão descritos a seguir: (1)

• Plano que passa pela origem

     Se o plano genérico ax + by + cz +d = 0 passa pela origem, isto é a(0) + b(0) + c(0) + d = 0, temos que d = 0, logo, a equação de um plano que passa pela origem é: ax + by + cz = 0. (1)

     Exemplo: 

     Dar a equação do plano que passa pela origem do sistema cartesiano e é normal ao vetor n = (2,2,4)

     O vetor n é um vetor normal ao plano, ou seja, é perpendicular a esse, logo,   a = 2, b = 2, c = 4. Com isso, temos que 2x + 2y + 4z + d = 0. Porém, esse plano passa pela origem, ou seja, pelo ponto  o = (0,0,0), com isso, já que todas as incógnitas correspondem a 0, temos que 2(0) + 2(0) + 4(0) + d = 0, então, d = 0.

     Conclusão: a equação desse plano é: 2x + 2y + 4z = 0

• Planos Paralelos aos eixos coordenados

     Se o vetor normal n é do tipo (0,b,c), por exemplo, ao multiplica-lo pelo vetor i = (1,0,0), tempos que(n)(i) = (0,b,c) (1,0,0) = 0, ou seja, n é ortogonal a i, logo, é paralelo ao eixo “ox”. Com isso, a equação de um plano paralelo ao eixo “ox” é by + cz + d = 0. (2)

     Como exemplo temos a ilustração de um plano de equação 2y + 3z – 6 = 0

Ilustração 1: Demonstração de plano paralelo ao eixo “ox”

Fonte: Retirado de (1)

     Analogamente, os planos paralelos ao eixo “oy” possuirão um vetor normal do tipo n = (a,0,c), sendo compostos pela equação geral ax + cz + d = 0. O mesmo pode ser observado em planos paralelos ao eixo “oz”, com vetor normal do tipo n = (a,b,0) e equação geral ax + by + d = 0. Com isso, pode-se concluir que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo dessa variável. (2)

     Observação: 

• No espaço |R3 uma equação do tipo ax + by + d = 0 representa um plano, porém, ao ser interpretada em |R2, representa uma reta. (1)
• Se na equação ax + by + d = 0, tivermos d = 0, ax + by = 0 corresponde a um plano paralelo ao eixo “oz” que passa pela origem. (1)

     Exemplo: 

    Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A = (0,1,2) e B = (1,3,0) e seja paralelo ao eixo x: (3)

    Como o plano é paralelo ao eixo x, utilizamos como base o vetor i = (1,0,0). Além disso, passa pelos pontos A = (0,1,2)  e AB = B – A = (1,3,0) – (0,1,2) = (1,2,-2) . Com isso, pode-se montar uma matriz contendo os vetores u – A = (x,y,z) – (0,1,2) = (x, y-1, z-2), i = (1,0,0) e AB = (1,2,-2). Logo:

Ilustração 2: Matriz para cálculo de equação de plano

Autoria Própria

      Calculando o determinante da matriz, obtemos a equação da reta, que corresponde a: y + z - 3 = 0. 

• Planos paralelos aos planos coordenados

     Se duas componentes do vetor normal n = (a,b,c) são nulas, n é colinear a um dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). Logo, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores. (1)

     Em um plano que possui o vetor normal n = (0,0,c), a equação geral desse plano é cz + d = 0. Como c difere de 0, temos que z = -d/c. Com isso, podemos concluir que, planos cujas equações são da forma z = k, com k pertencente aos números reais, são planos paralelos aos eixos “xoy”. (1)

     Como por exemplo, o plano z = 4:

Ilustração três: Vetor paralelo ao eixo “xoy”

Retirado de 1

     Como é possível observar na imagem, quando um plano é paralelo ao eixo “xoy”, esse é também perpendicular ao eixo “oz”. Analogamente temos que um plano da forma x = k é paralelo ao eixo “yoz” e perpendicular ao eixo “ox”, ao mesmo tempo em que um plano de forma y = k é paralelo ao eixo “xoz” e perpendicular ao eixo “oy”. (2)

     Exemplo:

     Determinar a equação geral do plano que passa por A = (2,3,4) e é paralelo aos vetores v1 = j + k e v2 = j - k (1)

    Como j = (0,1,0), k = (0,0,1) temos que v1 = (0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1). Além disso, o plano para por A, logo, temos que u = (x,y,z) – A = (2,3,4) = (x-2, y-3, z-4). Com esses vetores, podemos montar uma matriz e calcular seu determinante, encontrando assim a equação do plano sugerido.

Ilustração 4: Matriz para cálculo da equação do plano 2

Autoria própria

     Calculando o det(B) encontramos a equação do plano que corresponde a: x = 2, logo, é um plano perpendicular ao eixo “ox” e paralelo aos eixos “yoz”. 

Ilustração 5: Plano x = 2

Retirado de 1

Referências

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

(2) SALOMÃO, Maria Ignez Sampaio. Geometria Analítica – Planos;

(3) Planos. Disponível online em < http://people.ufpr.br/~roman/files/GA6.pdf> Acesso em 05 mai. 2015.

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Equação Paramétrica do Plano

     “Seja A = (Xo, Yo, Zo) um ponto de um plano e u = (a1,b1,c1), v = (a2,b2,c2) dois vetores não colineares. Um ponto P = (X,Y,Z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores u e v, se e somente se, existem números reais h e t tais que: AP = hu + tv.” (1)

Ilustração 1: Demonstração

Adaptado de 1

     Escrevendo a equação acima temos: (X,Y,Z) – (Xo,Yo,Zo) = h(a1,b1,c1) + y(a2,b2,c2). Com isso, tempos: (X,Y,Z) = (Xo,Yo,Zo) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2). Efetuando a operação: (X,Y,Z) = (Xo+ha1+ ta2,Yo+hb1+tb2,Zo+hc1+tc2). Logo,      X = Xo + ha1 + ta2; Y = Yo + hb1 + tb2; Z = Zo + hc3 + tc3. Essa é a equação paramétrica do plano, ou seja, ao atribuir valores a h e t, obteremos as coordenadas dos pontos inseridos dentro do plano. (1)

     Exemplo:

   Encontre as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A = (2,1,3) e é paralelo aos vetores u = (-3,-3,1) e v = (2,1,-2).1

    Os valores Xo, Yo e Zo correspondem aos valores do ponto A, logo, Xo = 2, Yo = 1 e Zo = 3. Os valores a1,b1,c1, correspondem aos valores do vetor u, então, temos que: a1 = b1 = -3, c1 = 1.       Analogamente, a2 = 2, b2 = 1 e c2 = -2. Com esses dados, e a equação geral paramétrica, podemos escrever as equações paramétricas para esse plano.

     X = 2 -3h +2t;  Y = 1 -3h +t;  Z = 3 +h -2t.

    Atribuindo valores para h (3) e t (2), podemos encontrar um ponto inserido no plano, então temos que:

     X = 2 -3(3) +2(2) = 2-9+4 = -3;   Y = 1 -3(3) +2 = 1-9+2 = -6; Z = 3 +3 -2(2) = 3+3-4 = 2. Com isso, temos que o ponto B = (-3,-6,2) está inserido no plano.

Referências

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Ângulo de Dois Planos

     Sejam os planos π1 = a1x + b1y + c1z + d = 0; π2 = a2x + b2y + c2z + d = 0. Com isso, os vetores n1 = (a1,b1,c1) e n2 = (a2,b2,c2) são vetores normais a π1 e π2 respectivamente. (1)

     Chama-se “ângulo de dois planos” o ângulo formado entre os dois vetores normais a esses planos, logo, calcula-se o ângulo de dois planos da mesma forma que se calcula o ângulo entre dois vetores: cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||  (1)

     Exemplo: 

     Determinar o ângulo entre os planos π1 = 2x - 3y + 5z - 8 = 0; π2 = 3x + 2y + 5z - 4 = 0 (1)

     n1 = (2,-3,5) e n2 = (3,2,5), logo, como cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||, temos que:

    cos θ = |(2,-3,5) . (3,2,5)|/√[2²+(-3)²+5²]  √[3²+2²+5²]. Com isso, cos θ = 25/√38 √38. Isso implica que cos θ = 25/38. Para encontrarmos o valor de θ, devemos encontrar θ = arc cos 25/38. Logo, θ = 48,86°.

• Condições de paralelismo e perpendicularismo entre dois planos

     Sejam os planos π1 = a1x + b1y + c1z + d = 0; π2 = a2x + b2y + c2z + d = 0. Com isso, os vetores n1 = (a1,b1,c1) e n2 = (a2,b2,c2) são vetores normais a π1 e π2 respectivamente. (1)

     Dois planos serão perpendiculares na seguinte condição:

• a1a2 + b1b2 +c1c2 = 0, ou seja, n1 e n2 são ortogonais. (2)

     Para que os planos sejam paralelos, temos as seguintes condições:

• (a1/a2) = (b1/b2) = c1/c2)
• a1 = a2; b1 = b2; c1 = c2, d1 diferente de d2. (2)

     Caso (a1/a2) = (b1/b2) = (c1/c2) = (d1/d2), os planos serão coincidentes, já que a equação de um dos planos será derivada da multiplicação entre um número e a equação do outro plano.  (2)

     Exemplo: 

     Calcular os valores de m e n para que o plano π1 = (2m-1)x - 2y + nz - 3 = 0 seja paralelo ao plano π2 = 4x + 4y - z = 0 (1)

     Verificando as condições de paralelismo, tempos que: (2m - 1)/4 = -2/4 = n/-1. 

     Analisando (2m - 1)/4 = -2/4 temos que: 2m - 1 = -2. Logo, 2m = -1. Com isso, m = -1/2.

     Analisando -2/4 = n/-1 temos que: 2 = 4n. Logo, n = 2/4 = 1/2

Referências

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

(2) SALOMÃO, Maria Ignez Sampaio. Geometria Analítica – Planos. 

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Ângulo de uma reta com um plano

     Seja r uma reta com a direção de um vetor v e um plano π de vetor normal n. (1)

Ilustração 1: Demonstração ângulo entre reta e plano

Adaptado de 1

     O ângulo entre a reta e o plano é um ângulo complementar a θ, logo, θ + Φ = π/2 , então, cos θ = sen Φ.  Como cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||, temos que sen Φ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||. (1)
     Para que uma reta seja perpendicular a um plano, o vetor v que aponta a direção de uma reta r deve ser paralelo ao vetor normal n do plano. Já uma reta que seja paralela a um plano, tem seu vetor v ortogonal ao vetor normal n (v.n = 0) (1)

     Para que uma reta pertença a um plano, são duas as principais condições:

1. O vetor diretor v de r é ortogonal ao vetor normal n do plano π;
2. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano. (1)

     Exemplo:

     Verificar se a reta r é perpendicular ao plano π = 9x - 6y - 3z + 5 = 0

     Uma das condições de perpendicularidade entre uma reta e o plano consiste no fato de um vetor v da reta r ser colinear ao vetor n normal ao plano π. No exercício proposto, temos que v = (3,-2,-1) e n = (9, -6, -3). É possível perceber que n = 3v, logo, os vetores são colineares (estão em uma mesma reta). Com isso, r é perpendicular a π.

Referências:
(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987
Observação: os vetores estão representados em negrito.

Interseção de dois planos

     Consideremos dois plano π1 e π2 não-paralelos. Estes irão se interceptar em uma determinada região do espaço tridimensional, sendo que a interseção entre eles será uma reta cuja equação podemos determinar conhecendo dois pontos pertencentes à mesma ou um ponto e o vetor diretor. Como os pontos da interseção pertencem a ambos os planos ao mesmo tempo, podemos fazer um sistema a partir das equações dos planos para determinar onde eles se interceptarão.

     Exemplo:

     Considere dois planos π1: 5x - 2y + z + 7 = 0 e π2: 3x - 3y + z + 4 = 0 e encontre a equação da reta que identifica a interseção entre os mesmos.

     Podemos partir da resolução do seguinte sistema:

 

     Como o sistema possui três incógnitas e apenas duas equações, ele será indeterminado e ficará sempre em função de uma das incógnitas. Nesse caso, vamos deixar em função de x:

     Portanto, a reta formada pela interseção destes dois planos pode ser representada como:

, e os pontos da interseção sendo (x, -2x - 3, -9x - 13)

Referências:

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Interseção entre reta e plano

     De modo geral, o ponto de interseção entre uma reta e um plano pode ser determinado através de um sistema feito entre ambas as equações.

     Exemplo:
 

• Interseção de plano com os eixos coordenados

     Se um plano π ax + by + cz + d = 0 não é paralelo a nenhum eixo coordenado, isto é a,b e c diferentes de zero, e não passa pela origem, d diferente de 0, os pontos onde ocorre a interseção com os eixos x,y e z podem ser encontrados utilizando-se a equação segmentária:

      

    Caso contrário, os mesmo podem ser encontrados igualando-se duas variáveis da equação do plano a zero.

     Exemplo:

     Determinar os pontos de interseção entre o plano π: 2x - 3y + 5z - 8 = 0 e os eixos coordenados, assim como a equação das retas que ligam os mesmos.

     Primeiramente encontraremos os pontos de interseção do plano com os eixos através da equação segmentária:

 

• Reta que passa entre x e y

     Como ela será paralela ao eixo xOy, z é igual a zero.

• Entre x e z

• Entre y e z

• Exercícios propostos

1. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1)

     Podemos definir os seguintes vetores: AB = (3,-3,1) e AC = (2,-1,-1). O produto externo entre eles dará origem a um vetor n ortogonal ao plano.

     A equação se formará da seguinte maneira com o vetor n(4,5,3): 4x + 5y + 3z + d = 0. Para encontrar o valor de d, basta substituir os valores de um dos pontos na equação. Consideremos A(-1,2,0):

     4(-1)+5(2)+3(0)+d = 0. Logo, -4 + 10 + d = 0 e d = -6. Portanto a equação será: 4x+5y+3z-6 = 0

     2.  Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aos vetores i e -2j + k.

     Temos os vetores v1 = (1,0,0) e  v2 = (0,-2,1).

     Portanto, a equação geral do plano terá a seguinte forma: -y - 2z + d = 0. Substituindo o ponto A(6,0,-2), temos que: -0 - 2(-2) + d = 0. Com isso, -4 + d = 0 e d = -4.

     Equação geral: -y - 2z - 4 = 0 , multiplicando por (-1) => y + 2z + 4 = 0

     3.  Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).

     AB = (-2,1,1)

     Se o plano é paralelo ao eixo dos y, qualquer vetor paralelo a y consequentemente será paralelo ao plano, portanto, podemos considerar o vetor v = (0,1,0).

     Calculando o produto externo AB x v , teremos:

     Como os coeficientes da equação geral do plano ax + by + cz + d = 0 correspondem aos valores de x,y e z do vetor ortogonal a si, a equação terá a seguinte forma: -x - 2z + d = 0.

     Substituindo os valores do ponto A(2,1,0) na equação geral, obtemos o valor de d: -2 - 2(0) + d = 0 e d = 2.

     Equação geral do plano: -x - 2z + 2 = 0 , multiplicando por (1) => x + 2z - 2 = 0

Referências:

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.