Condição de coplanaridade de duas retas

     Temos duas retas, r1 que passa pelo ponto A1 (x1, y1, z1) e possui o vetor v1 = (a1, b1, c1) indicando a sua direção  e r2 que passa pelo ponto A2 (x2, y2, z2) e possui o vetor v2 = (a2, b2, c2) indicando sua direção. As retas são ditas coplanares se v1, v2 e A1, A2 forem coplanares, isto é, se o produto misto de (v1, v2 , A1, A2) for nulo.

Ilustração 1: Demonstração de coplanaridade de duas retas

Fonte: Retirado de (1)

     Exemplo:

     As retas: r1: {(x-2)/2= y/3= (z-5)/4}; r2: {(x+5)/(-1)= (y +3)/1= (z-6)/3}
     A direção de r1 é dada pelo vetor v1= (2, 3, 4) que passa pelo ponto A1(2, 0, 5).
     A direção de r2 é dada pelo vetor  v2= (-1, 1, 3) que passa pelo ponto A2(-5, -3, 6)
     O vetor determinado pelos pontos A1 e A2 é A1A2 = (-7, -3, 1)
     Para as retas serem coplanares é necessário que seja nulo o produto misto (v1, v2 , A1, A2), sendo assim:

Ilustração 9: Matriz para cálculo do produto misto

Fonte: Autoria própria

     Ao calcularmos o determinante obtemos: 2 – 63 + 12 + 28 + 18 + 3= 0. Como o produto misto é nulo, provamos que as retas r1 e r2 são coplanares.

Referências:
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo1/lineares.pdf
http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
1 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;
2 Retas. Disponível http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
Observações: os vetores estão representados em negrito.

Posições Relativas de Duas Retas

     São quatro as possibilidades para duas retas r e s de  : serem coplanares (concorrentes, paralelas distintas, paralelas coincidentes), reversas. (1)
     Coplanares, isto é, situadas no mesmo plano:

• Concorrentes: r ∩ s = I (I é o ponto de interseção das retas r e s)

          Ilustração 1 : Retas concorrentes

          Fonte: retirada de (2)

• Paralelas distintas: r ∩ s = ∅   ( ∅ é o conjunto vazio)

                    

Ilustração 2 : retas paralelas

Fonte : retirada de (2)

• Paralelas coincidentes: r ∩ s  = r = s

     Reversas: não situadas no mesmo plano. Nesse caso: r ∩ s = ∅  . (2)

Ilustração 3 : retas reversas

Fonte: retirada de (2)

     Considerando que  r é um vetor diretor de r e s é um vetor diretor de s e A e B são, respectivamente, pontos de r e s: (1)

• r e s serão reversas se, e somente se, (r, s, AB) são linearmente independentes (ilustração 4a). (r,s,AB) ≠ 0. (1) 
•    Equivalentemente, r e s são coplanares se, e somente se, (r, s, AB) são linearmente dependentes (inclui os casos de concorrentes, paralelas distintas, paralelas coincidentes); (r,s,AB) = 0. (1) 
• r e s serão paralelas se, e somente se, (r,s) são linearmente dependentes; (1)
• r e s serão concorrentes se, e somente se, são coplanares e não paralelas, isto é, (r, s, AB) são linearmente dependentes e  (r,s) são linearmente independentes (ilustração 4b)¹

Ilustração 4: retas reversas e retas coplanares

Fonte: retirado de (1)

     Exemplo: 

     Estudar a posição relativa das retas: (2)

     Solução

     São vetores diretores de r1 e r2 : v1 = (1,2,-1) e v2 = (-3,6,3)  . Como v2 = -3 v1 , as retas  r1 e r2 são paralelas e não coincidentes (basta ver que o ponto A1 = (0,-3,0) pertence a r1 e não pertence a r2).

Referências

(1) CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. -- 3ªed. rev e ampl -- São Paulo: Prentice Hall, 2005; 

(2) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Interseção de Duas Retas

     Duas retas r e s coplanares e não paralelas são concorrentes. Considerando as retas: (1)

 

     Para determinar o ponto de interseção, se I (x,y,z) é este ponto, suas coordenadas satisfazem o sistema formado pelas equações r e s¹:

Resolvendo o sistema:

     Logo, o ponto de interseção das retas r e s é: I (1,-1,2).

     Exemplo:

     Verificar a ortogonalidade das retas e obter o ponto de interseção

     Igualando as expressões:

     Resolvendo o sistema:

     Logo, o ponto de interseção entre as retas r e s é: (3,0,-1). (2)

Referencias:
(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;
(2) CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. -- 3ªed. rev e ampl -- São Paulo: Prentice Hall, 2005.

Perpendicularidade e Ortogonalidade Entre Retas

     A diferença entre retas ortogonais e retas perpendiculares é que duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas e duas retas perpendiculares são obrigatoriamente reversas. A segunda é um caso particular da primeira. (1)
     Sejam as retas r1 e r2, não paralelas, com as direções dos vetores  v1 = (a1,b1,c1) e v2 = (a2,b2,c2), respectivamente. Qualquer reta r, simultaneamente ortogonal às retas r e s, terá um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor v1 x v2 (ilustração 5). (2)

Ilustração 5: reta ortogonal a duas retas

Fonte : retirada de (2)

     Nas condições dadas, uma reta r estará bem definida quando se conhece um dos seus pontos. (2)

     Exemplo: 

     Verifique se as retas r: x = (1,1,1) + t = (2,1,-3) e s: x = (0,1,0) + t = (-1,2,0) são ortogonais. Caso sejam, verifique a perpendicularidade: (1)
     Solução

     r = (2,1,-3) e s = (-1,2,0) são, respectivamente, vetores diretores de r e s. logo:

     (2,1,-3)∙(-1,2,0) = (2)(-1) + (1)(2) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
     Decorre que as retas r e s são ortogonais. Vamos verificar se elas são concorrentes, para responder a segunda questão. O ponto A = (1,1,1) pertence a r, o ponto B = (0,1,0) pertence a s, e  BA = (1,0,1). Os vetores  BA, r e s são linearmente independentes, pois

     Logo, r e s são reversas. A conclusão é que são ortogonais, mas não perpendiculares.

     Exemplo: 

     Determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é ortogonal comum as retas: (2)

 
     Solução
     As direções de r e s são definidas pelos vetores v1 = (-1,2,-3) e v2 = (-3,0,-1)  Então, a reta r tem a direção do vetor:

     Logo, escrevendo as equações simétricas de r, vem:

Referências
(1) CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. -- 3ªed. rev e ampl -- São Paulo: Prentice Hall, 2005;
(2) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
Observação: os vetores estão representados em negrito.

Ponto que Divide um Segmento de Reta numa Razão Dada

     Dados os pontos  , diz-se que um ponto P(x,y,z) divide o segmento de reta   na razão r (ilustração 1) se: 

     

Ilustração 1 : ponto que divide um segmento de reta

Fonte:  retirada de 1

     Com isso, temos a equação 1: 

     Conclusão:

    (x,y,z) são as coordenadas do ponto P que divide o segmento de reta P1P2 na razão r.

     Exemplo: 

    O ponto P( 9, 14, 7) divide o segmento P1P2 na razão 2/3. Determinar P2, sabendo que P1 (1, 4, 3).

     Solução: substituindo na equação 1, pode-se obter as coordenadas de P2. Assim:

     P( 9, 14, 7) = (x, y, z), então P1 (1, 4, 3) = (x1, y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2). Com isso temos que:

     9 = (1 - 2/3  x2)/(1- 2/3). Logo, x2  = -3;

    14 = (4 - 2/3  y2)/(1- 2/3). Logo, y2 = -1;

     7 = (3 - 2/3  z2)/(1- 2/3). Logo, z2 = 1.

     Com isso, tem-se P2 (-3,-1,1).

Referencias: 

¹ STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Ponto que Divide um Segmento de Reta ao Meio

     No caso de um ponto P dividir o segmento de reta P1P2 ao meio¹:

   
ou seja,   r = -1

Ilustração 1 : ponto que divide um segmento de reta ao meio

Fonte: retirada de (1)

     Equação 2:

     Exemplo:
     Dados os pontos P1 (7, -1, 3) e P2 (3, 0, -12) , determinar o ponto Q que divide o segmento P1P2 ao meio
     Solução: substituir os valores fornecidos na equação 2
     (7, -1, 3) = (x1, y1, z1) e (3, 0, -12) = (x2,y2, z2), logo, Q = (x, y, z). Utilizando a equação 2, temos que: x = (7 + 3)/2, ou seja, x = 5. Além disso, y = (-1 + 0)/2, ou seja, y = (-1)/2 e z = (3-12)/2, portanto, z = (-9)/2.
     Conclusão: Q( 5, (-1)/2, (-9)/2)

Referencias:
(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Equação geral do plano

     Um plano π estará contido no espaço tridimensional se dado um ponto A (x1,y1,z1) e um vetor n = ai + bj + ck, n diferente de (0,0,0), tal que o vetor n seja ortogonal a todos os vetores AP, sendo P (x,y,z).

     Por definição: n.AP = 0

     Plano π:

Figura 1: Vetores AP e n representados no plano π

Adaptado de (1)

     Se n = (a,b,c) e AP= (x-x1, y-y1, z-z1) , teremos: (a,b,c)(x - x1, y - y1, z - z1) = 0

     ax - ax1 + by - by1 + cz-  cz1 = 0 , reagrupando: ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0. Considerando -ax1 - by1 - cz1 = d: ax + by + cz = 0, definindo assim a equação geral de um plano π.

Observações:

1. O vetor n ortogonal ao plano π, quando multiplicado por um escalar k diferente de 0 irá gerar um vetor kn também ortogonal a todos os pontos contidos no plano π.
2. Sendo v1 e v¬2 dois vetores não colineares e paralelos ao plano π, o produto v1 x v¬¬2 dará origem a um vetor n que será ao mesmo tempo ortogonal a v1 e v2 e ao plano π.
3. Sendo a equação geral do plano definida por ax+by+cz+d = 0 , os coeficientes a,b e c representam as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano, sendo assim, o coeficiente d nos permite diferencias infinitos plano paralelos entre si.

     Exemplo: 

     π 1 : 4x-5y+z+1 = 0

     π2 : 4x-5y+z+2 = 0

     Os planos π 1 e π2 são paralelos, pois dπ1 = 1 e dπ2 = 2 , sendo que ambos são ortogonais ao vetor n = (a,b,c) = (4,-5,1).

     Exemplo:

     Escrever a equação do plano π que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao plano π1 : 2x - 3y + z - 6 = 0

     Sabemos que o vetor n = (2,-3,1) é ortogonal a π1 , então ele consequentemente também será normal com relação a π, pois π e π1 são paralelos.

     Pela definição: n.AP = 0. (2,-3,1)(x - 3,y - 1,z + 4) = 0. Logo, 2x - 6 - 3y + 3 + z + 4 = 0. Consequentemente, 2x - 3y + z + 1 = 0

     Conclusão: A equação do plano π é igual a 2x-3y+z+1 = 0

     Resolvendo de outra maneira:

    2x - 3y + z + d = 0, pois vimos que d é o coeficiente que diferencia dois planos paralelos. Mas como A(3,1,-4) pertence a  π, teremos que: 2(3) - 3(1) - 4 + d = 0. Logo, 6 - 3 - 4 + d = 0 e d = 1 , portanto a equação será 2x - 3y + z + 1 = 0.

Referências:

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.