Equação Vetorial da Reta

     Suponha que exista um ponto conhecido A de coordenadas (x1, y1, z1) e um ponto qualquer P (x, y, z). Há um vetor não - nulo AP que sai de A e vai para P e um vetor v (a,b,c) paralelo a AP e, portanto, de mesmos sentido e direção. Esse vetor v  parte da origem e é denominado vetor diretor da reta r que passa pelos pontos A e P, recebe esse nome pelo fato de definir a direção da reta. (1)

Figura 1 - Reta r 

Retirada de (1)

     Para que P pertença a reta r é necessário que v e AP sejam linearmente dependentes, ou seja: (2)

     AP = tv.

     Como AP = P - A, tem-se que P - A = tv ou P = A + tv  portanto:

     (x , y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c).

     Exemplo 1: 

     Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A (3,0, 5) e tem a direção do vetor v = 2i + 2j - k:

     Substituindo na equação, tem-se: r: (x, y, z) = (3,0,5) + t(2,2,-1).

     Exemplo 2 : 

     Determinar a equação vetorial da reta s que passa por A (1,-1,4) e tem a direção de v (2,3,2) :

     A partir da equação é possível obter: (x, y, z) = (1,-1,4) + t(2,3,2).

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Equações Paramétricas da Reta

     Para um ponto conhecido A (x1, y1, z1), um ponto qualquer P (x, y, z) e um vetor diretor v (a, b, c) tem-se a equação vetorial da reta dada por: (1)

     P = A + tV ou (x , y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c). Desenvolvendo essa equação, tem-se:

     (x , y, z) = (x1, y1, z1) + (ta, tb, tc), (x, y, z) = (x1 + ta, y1 + tb, z1 +tc).

     Assim:

     x = x1 + at; y = y1 + bt; z = z1 + ct.

     Tais equações são denominadas equações paramétricas da reta. (1)

     Exemplo 1:

     Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A (3,-4,2) e é paralela ao vetor v (2,1,-3):

     Temos que: x1 = 3 e a = 2; y1 = -4 e b = 1; z1 = 2 e c = -3. 

     Assim: x = 3 + 2t; y = -4 + t; z = 2 - 3t.

     Exemplo 2:

     Determinar o ponto P da reta que tem abscissa 4:

    Pode-se substituir o valor fornecido para x para encontrar o valor de t e, assim, encontrar os valores de y e de z: 4 = 2 -t; 4-2 = -t; t= -2.

     Assim pode-se achar o valor de y: y = 3 - 2, y = 1. Pode-se também encontrar o valor de z:

     z = 1 -2(-2), z= 1 +4, z = 5.

     Conclusão: temos que P = (4, 1, 5).

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Reta Definida por 2 Pontos

     Quando são fornecidos dois pontos conhecidos da reta A (x1, y1, z1) e B (x2,y2, z2), é possível obter o vetor diretor v da reta para então equacionar essa reta r. O vetor v = AB = B-A.                Assim: (1)

     v = (x2 - x1, y2 -y1, z2 - z1)

     Dessa forma, a equação da reta r é:

     (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) ou

     (x, y, z) = (x2,y2, z2) + t(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) ou ainda:

     x = x1 + (x2 - x1)t; y = y1 + (y2 -y1)t; z = z2 + (z2 - z1)  

  

     Exemplo 1: 

     Escreva as equações paramétricas da reta definida pelos pontos A(1,1,1) e B (2,3,5) : 

     Deve-se encontrar o vetor diretor primeiro para, depois, obter a equação da reta

     v = B -A = (2-1, 3-1, 5-1), v = (1, 2, 4)    = vetor diretor.

     P = B + tv.     

     x = 2 +1t; y= 3 + 2t; z = 5+ 4t.

     Conclusão:  a reta r é representada por : (x, y, z) = (2, 3, 5) + t( 1, 2, 4).

     Exemplo 2:

     Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A (1, -2, -3) e B (3, 1, -4):

     v = (3 - 1, 1 + 2, -4 + 3), v = (2, 3, -1).

     x = 1 + 2t; y = -2 + 3t; z = -3 -t.

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observações: os vetores estão representados em negrito.

Equações Simétricas da Reta

     As equações simétricas são obtidas a partir das equações paramétricas. Tem-se que as paramétricas são definidas por: (1)

     x = x1 + at; y = y1 + bt; z = z1 + ct.                

     Isolando o parâmetro (t) em cada equação, tem-se:

     t=(x - x1)/a; t =  (y - y1 )/b; t =  (z - z1 )/c.

     Desse modo: (x - x1)/a = (y - y1 )/b = (z - z1 )/c

    Tais equações são denominadas equações simétricas, ou normais, da reta r que passa pelo ponto conhecido A (x1, y1, z1) , por um ponto qualquer P (x, y, z) e tem o vetor v (a, b, c) como vetor diretor. (1)

     Observação: 

     Para obter as equações simétricas da reta é necessário que o produto abc seja diferente de zero, isto é: abc ≠ 0 (1)

     Exemplo 1 :

     Obter as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (3,0,5) e tem direção do vetor v (2, 2, -1):

     Substituindo (2,2,-1) no lugar de (a, b,c) e (3, 0,5) em (x1, y1, z1), obtemos as equações da reta

(x-3)/2  =  (y-0 )/2=  (z-(-5) )/(-1).

     Conclusão: as equações simétricas da reta são:(x-3)/2  = (y )/2  = (z+5 )/(-1)

  

     Exemplo 2:

     Determinar os pontos da reta r: (x-3)/2 = (y+1)/(-1) = z/(-2) que têm a) abscissa 5; b) ordenada 4; c) cota 1.

• a) Como x=5: (5-3)/2  = 1. Assim, pode-se calcular o valor de y:

     1 = (y +1)/(-1), y = -2. Também é possível calcular z:

     1 = z/(-2), z = -2.

     Conclusão: para abscissa 5, tem-se o ponto P (5, -2, -2)

• b) Como y = 4: (4+1)/(-1) = -5. Assim, pode-se calcular o valor de x:

     -5 = (x-3)/2, x= -7. Pode-se encontrar também o valor de z:

     -5 = z/(-2), z = 10.

     Conclusão: para ordenada 4, tem-se o ponto P (-7, 4, 10).

• c) Como z = 1: 1/(-2) = - -1/2. Assim, pode-se calcular o valor de x:

      - -1/2 = (x-3)/2, x = 2. Pode-se também encontrar o valor de y:

      - -1/2 = (y +1)/(-1), y = - -1/2 .

     Conclusão: para cota 1, tem-se o ponto P (2, - -1/2 , 1).

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987

Observação: os vetores estão representados em negrito.

Equações Reduzidas da Reta

     A partir das equações simétricas da reta é possível obter as equações reduzidas. Para tanto, deve-se isolar duas variáveis e deixá-las em função da terceira. Para uma reta r que passa pelo ponto conhecido A (x1, y1, z1) e tem V (a,b,c) como vetor diretor tem-se: (1)

     (x - x1)/a = (y - y1 )/b = (z - z1 )/c. Isolando y e z em função de x, tem-se:

•      Para y:

     (x - x1)/a = (y - y1 )/b. Logo, y - y1 = b/a ( x - x1) e y = bx/a - bx1/a + y1.

     Adotando: b/a = m ; - bx1/a + y1 = n, tem-se que: y = mx + n.

•      Para z:

     z - z1 = c/a (x - x1). Logo, z = cx/a - cx1/a + z1.

   Adotando: c/a = p ; - cx1/a + z1 = q, tem-se que: z = px +q. Portanto, as equações reduzidas da reta r na variável x são:

     y = mx + n

     z = px +q     

   

     Observação: 

     Há dois métodos de obter-se o vetor diretor a partir das equações reduzidas da reta: (2)

     a) Encontrar 2 pontos A e B da reta e obter o vetor AB = B - A. Este vetor AB é o vetor diretor. (2)

     b) Para as equações reduzidas na variável , isolar o x e obter as equações na forma simétrica. (2)

     Exemplo 1:

    Obter as equações reduzidas na variável x da reta que passa por A (2, -4, -3) e tem o vetor diretor v (1, 2, -3):

     y = mx + n, em que m = b/a e n = - bx1/a + y1

     m = 2/1 = 2; n = (-2.2)/1 -4 = -8. Logo, y = 2x -8.

     z = px + q, em que : p = c/a ; q = - cx1/a + z1.

     p = (-3)/1 = -3; q = (-(-3).2)/1 -3 = 3. Logo, z = -3x +3.

     Conclusão: a reta tem equações reduzidas: y = 2x -8 e z = -3x +3.

     Exemplo 2: 

     Obter o vetor diretor V (a, b, c) da reta cujas equações reduzidas são:

     y = 2x -8 e z= 5x/2 - 13.

     Deve-se isolar x e obter as equações simétricas:

     y  + 8 = 2x, então, x = (y+8)/2.

     z + 13 = 5x/2, então, z = (2z+26)/5.

     Assim, tem-se que as equações simétricas são: x/1=  (y+8)/2=(2z+26)/5.

     Conclusão: o vetor diretor V = (1, 2, 5)

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987

2 - Apostila de Geometria Analítica - Retas. UNESP

Observações: os vetores estão representados em negrito.

Retas paralelas aos planos e aos eixos coordenados

     Considerando uma componente do vetor diretor igual à zero, que é representado pelo vetor v = (a, b, c) obteremos o vetor v ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo então a reta r (determinada por um ponto A( x1, y1, z1)) paralela ao plano dos outros eixos. Portanto se: a = 0, v = (0,b,c), logo, é é perpendicular ao eixo "ox" e paralelo ao eixo "yoz".
     As equações da reta r ficam:

     Verificamos que a coordenada x permanece constante, variando somente entre y e z. Com isso averiguamos que a reta r se localiza num plano paralelo ao plano coordenado yOz. Como exemplo temos a ilustração abaixo:

Ilustração 1: Demonstração de plano paralelo ao plano coordenado yOz

Fonte: Retirado de (1)

     Caso a componente b do vetor diretor venha ser nulo obteremos: b = 0, v = (a,0,c), logo, é perpendicular ao eixo "oy" e paralelo ao eixo "xoz".
     As equações da reta ficam:

     Verificamos que a coordenada y permanece constante, variando somente entre x e z. Com isso averiguamos que a reta r se localiza num plano paralelo ao plano coordenado xOz.

Ilustração 2: Demonstração de plano paralelo ao plano coordenado xOz

Fonte: Retirado de 1

     Caso a componente c do vetor diretor venha ser nulo: c = 0, v = (a,b,0), logo, é perpendicular ao eixo "oz" e paralelo ao eixo "xoy".
     As equações da reta ficam:

    Verificamos que a coordenada z permanece constante, variando somente entre x e y. Com isso averiguamos que a reta r se localiza num plano paralelo ao plano coordenado xOy.

Ilustração 3: Demonstração de plano paralelo ao plano coordenado xOy

Fonte: Retirado de (1)

     Agora verificaremos quando duas das componentes de v são nulas.
     Caso as componentes ‘a’ e ‘b’ do vetor diretor forem nulos: v = (0,0,c)
     As equações da reta ficam:

     Verificamos que a coordenada z é variável.
 

Ilustração 4: Demonstração de coordenada z é variável

Fonte: Retirado de 1

     Caso os componentes ‘a’ e ‘c’ do vetor diretor forem nulos: v = (0,b,0)
     As equações da reta ficam:

     Verificamos que a coordenada y é variável.                                
     

                     

Ilustração 5: Demonstração de coordenada y é variável

Fonte: Retirado de 1

     Caso os componentes ‘b’ e ‘c’ do vetor diretor forem nulos: v = (a,0,0)
     As equações da reta ficam:

     Verificamos que a coordenada x é variável.

                         

Ilustração 6: Demonstração de coordenada x é variável

Fonte: Retirado de 1

     Exemplo: 

     Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A (-2, 3, -2) e tem a direção do vetor v = 3i + 2k.
     Resolução:
     Com base na equação do vetor (3i + 2k) verificamos que as componentes do vetor v são: a = 3; b = 0 e  c = 2. Como a componente b é nula, verificamos que a reta se encontra num plano paralelo ao xOz, com as seguintes equações:

Referências:
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo1/lineares.pdf
http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
1 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;
2 Retas. Disponível http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
Observações: os vetores estão representados em negrito.

Ângulo de duas retas

     É o menor ângulo formado por dois vetores diretores das retas.

  Ilustração 1: Demonstração de menor ângulo formado por dois vetores

Fonte: Retirado de 2

    Sendo θ este ângulo, temos:

     Exemplo:

     Calcular o ângulo entre as retas r1 e r2

     Os vetores que definem as direções das retas são:
     r1= v1= (1, 1, -2) r2 = v2= (-2 , 1, 1)
     Resolução:
     Substituiremos os valores na fórmula dada acima.

     Logo temos:

     Concluímos que o menor ângulo formado é de 60°

• Condições de paralelismo de duas retas:

     Para duas retas r1 e r2 serem paralelas, deve-se possuir a mesma condição da dos vetores v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2)  que indicam as direções das retas. Isto é: a1/a2 =  b1/b2 =  c1/c2

     Exemplo:

     A reta r1, que passa pelos pontos A1(-3, 4, 2) e B1(5, -2, 4), e a reta r2 passa pelos seguintes pontos A2(-1, 2, -3) e B2( -5, 5, -4).
     A direção de r1 é dada pelo seguinte vetor v1= (8, -6, 2), r2 é dada pelo vetor v2= (-4, 3, -1)
     A condição de paralelismo de duas retas é: 8/(-4) = (-6)/3 = 2/(-1), o que prova serem paralelas as retas r1 e r2.

• Condições de ortogonalidade de duas retas:

     Para duas retas r1 e r2 serem ortogonais, deve-se possuir a mesma condição da dos vetores v1 =(a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2)  que indicam as direções das retas. Isto é: v1 * v2 = 0

     Exemplo:

     A direção de r1 é dada pelo seguinte vetor v1 = (8, 0, -6), e r2 é dada pelo vetor v2 = (3, 5, 4).
     A condição de ortogonalidade de duas retas é: v1 * v2 = 0
     Neste caso obtemos: (8, 0, -6). (3, 5, 4)= 24 + 0 - 24 = 0, o que prova serem ortogonais as retas r1 e r2.


Referências:
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo1/lineares.pdf
http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
1 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;
2 Retas. Disponível http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
Observações: os vetores estão representados em negrito; * corresponde a produto interno entre vetores.