Ângulo de duas retas

     É o menor ângulo formado por dois vetores diretores das retas.

  Ilustração 1: Demonstração de menor ângulo formado por dois vetores

Fonte: Retirado de 2

    Sendo θ este ângulo, temos:

     Exemplo:

     Calcular o ângulo entre as retas r1 e r2

     Os vetores que definem as direções das retas são:
     r1= v1= (1, 1, -2) r2 = v2= (-2 , 1, 1)
     Resolução:
     Substituiremos os valores na fórmula dada acima.

     Logo temos:

     Concluímos que o menor ângulo formado é de 60°

• Condições de paralelismo de duas retas:

     Para duas retas r1 e r2 serem paralelas, deve-se possuir a mesma condição da dos vetores v1 = (a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2)  que indicam as direções das retas. Isto é: a1/a2 =  b1/b2 =  c1/c2

     Exemplo:

     A reta r1, que passa pelos pontos A1(-3, 4, 2) e B1(5, -2, 4), e a reta r2 passa pelos seguintes pontos A2(-1, 2, -3) e B2( -5, 5, -4).
     A direção de r1 é dada pelo seguinte vetor v1= (8, -6, 2), r2 é dada pelo vetor v2= (-4, 3, -1)
     A condição de paralelismo de duas retas é: 8/(-4) = (-6)/3 = 2/(-1), o que prova serem paralelas as retas r1 e r2.

• Condições de ortogonalidade de duas retas:

     Para duas retas r1 e r2 serem ortogonais, deve-se possuir a mesma condição da dos vetores v1 =(a1, b1, c1) e v2 = (a2, b2, c2)  que indicam as direções das retas. Isto é: v1 * v2 = 0

     Exemplo:

     A direção de r1 é dada pelo seguinte vetor v1 = (8, 0, -6), e r2 é dada pelo vetor v2 = (3, 5, 4).
     A condição de ortogonalidade de duas retas é: v1 * v2 = 0
     Neste caso obtemos: (8, 0, -6). (3, 5, 4)= 24 + 0 - 24 = 0, o que prova serem ortogonais as retas r1 e r2.


Referências:
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo1/lineares.pdf
http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
1 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;
2 Retas. Disponível http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
Observações: os vetores estão representados em negrito; * corresponde a produto interno entre vetores.