Equação Vetorial da Reta

     Suponha que exista um ponto conhecido A de coordenadas (x1, y1, z1) e um ponto qualquer P (x, y, z). Há um vetor não - nulo AP que sai de A e vai para P e um vetor v (a,b,c) paralelo a AP e, portanto, de mesmos sentido e direção. Esse vetor v  parte da origem e é denominado vetor diretor da reta r que passa pelos pontos A e P, recebe esse nome pelo fato de definir a direção da reta. (1)

Figura 1 - Reta r 

Retirada de (1)

     Para que P pertença a reta r é necessário que v e AP sejam linearmente dependentes, ou seja: (2)

     AP = tv.

     Como AP = P - A, tem-se que P - A = tv ou P = A + tv  portanto:

     (x , y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c).

     Exemplo 1: 

     Determinar a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A (3,0, 5) e tem a direção do vetor v = 2i + 2j - k:

     Substituindo na equação, tem-se: r: (x, y, z) = (3,0,5) + t(2,2,-1).

     Exemplo 2 : 

     Determinar a equação vetorial da reta s que passa por A (1,-1,4) e tem a direção de v (2,3,2) :

     A partir da equação é possível obter: (x, y, z) = (1,-1,4) + t(2,3,2).

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observação: os vetores estão representados em negrito.