Ângulo de uma reta com um plano

     Seja r uma reta com a direção de um vetor v e um plano π de vetor normal n. (1)

Ilustração 1: Demonstração ângulo entre reta e plano

Adaptado de 1

     O ângulo entre a reta e o plano é um ângulo complementar a θ, logo, θ + Φ = π/2 , então, cos θ = sen Φ.  Como cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||, temos que sen Φ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||. (1)
     Para que uma reta seja perpendicular a um plano, o vetor v que aponta a direção de uma reta r deve ser paralelo ao vetor normal n do plano. Já uma reta que seja paralela a um plano, tem seu vetor v ortogonal ao vetor normal n (v.n = 0) (1)

     Para que uma reta pertença a um plano, são duas as principais condições:

1. O vetor diretor v de r é ortogonal ao vetor normal n do plano π;
2. Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano. (1)

     Exemplo:

     Verificar se a reta r é perpendicular ao plano π = 9x - 6y - 3z + 5 = 0

     Uma das condições de perpendicularidade entre uma reta e o plano consiste no fato de um vetor v da reta r ser colinear ao vetor n normal ao plano π. No exercício proposto, temos que v = (3,-2,-1) e n = (9, -6, -3). É possível perceber que n = 3v, logo, os vetores são colineares (estão em uma mesma reta). Com isso, r é perpendicular a π.

Referências:
(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987
Observação: os vetores estão representados em negrito.