Determinação de um plano

     Como vimos, tendo-se um ponto pertencente ao plano e um vetor ortogonal ao mesmo, podemos facilmente determinar a equação geral deste plano. Entretanto, há outras maneiras de se determinar a equação que representa um plano:

• I- Tendo um ponto A pertencente a π e dois vetores não colineares paralelos a π.

     n = v1 x v2

Figura 1: Representação de I

Adaptado de (1)

• II- Tendo dois pontos A e B pertencentes ao plano π e um vetor não-colinear a AB paralelo ao mesmo.

     n = v1 x AB

Figura 3: Representação de II

Adaptado de (1)

• III-  Tendo três pontos não pertencentes a uma mesma reta.

Figura 4: Representação de III

Adaptado de (1)

• IV- Tendo duas retas que se intersecionam, e os vetores diretores das mesmas.

     n = v1  x v2

Figura 5: Representação de IV

Adaptado de (1)

• V- Tendo duas retas paralelas, um ponto pertencente a cada uma das duas e o vetor diretor de uma delas.

     n = v x A1A2

Figura 6: Representação de V

Adaptado de (1)

• VI – Tendo uma reta pertencente ao plano, o vetor diretor da mesma, um ponto A pertencente a r e um ponto B não pertencente a r.

     n = v1  x AB

Figura 7: Representação de VI

Adaptado de (1)

     Como pode-se observar, em todos os casos a determinação de um vetor n normal ao plano fica em função do produto externo entre dois vetores pertencentes ao mesmo, então utilizando este raciocínio, chamamos estes vetores de “vetores-base”.

     Exemplo:

     Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos A(2,1,-1) , B(0,-1,1) e C(1,2,1).

     Como vimos em III, os três pontos pertencem ao plano e não formam uma reta, portanto, podemos fazer o seguinte produto: n = AB x AC:

     Como A, B e C pertencem ao plano, podemos montar a equação geral utilizando qualquer um dos três pontos. Vamos considerar o ponto C: n.CP = 0 , sendo P(x,y,z)

     (-6,2,-4)(x - 1,y - 2,z - 1) = 0. Com isso, -6x + 6 + 2y - 4 - 4z + 4 = 0, resultado em -6x + 2y - 4z + 6 = 0

     O ponto de interseção entre a reta r e o plano π é (-2,-1,-10).

Referências:

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.