Interseção de dois planos

     Consideremos dois plano π1 e π2 não-paralelos. Estes irão se interceptar em uma determinada região do espaço tridimensional, sendo que a interseção entre eles será uma reta cuja equação podemos determinar conhecendo dois pontos pertencentes à mesma ou um ponto e o vetor diretor. Como os pontos da interseção pertencem a ambos os planos ao mesmo tempo, podemos fazer um sistema a partir das equações dos planos para determinar onde eles se interceptarão.

     Exemplo:

     Considere dois planos π1: 5x - 2y + z + 7 = 0 e π2: 3x - 3y + z + 4 = 0 e encontre a equação da reta que identifica a interseção entre os mesmos.

     Podemos partir da resolução do seguinte sistema:

 

     Como o sistema possui três incógnitas e apenas duas equações, ele será indeterminado e ficará sempre em função de uma das incógnitas. Nesse caso, vamos deixar em função de x:

     Portanto, a reta formada pela interseção destes dois planos pode ser representada como:

, e os pontos da interseção sendo (x, -2x - 3, -9x - 13)

Referências:

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;