Condição de coplanaridade de duas retas

     Temos duas retas, r1 que passa pelo ponto A1 (x1, y1, z1) e possui o vetor v1 = (a1, b1, c1) indicando a sua direção  e r2 que passa pelo ponto A2 (x2, y2, z2) e possui o vetor v2 = (a2, b2, c2) indicando sua direção. As retas são ditas coplanares se v1, v2 e A1, A2 forem coplanares, isto é, se o produto misto de (v1, v2 , A1, A2) for nulo.

Ilustração 1: Demonstração de coplanaridade de duas retas

Fonte: Retirado de (1)

     Exemplo:

     As retas: r1: {(x-2)/2= y/3= (z-5)/4}; r2: {(x+5)/(-1)= (y +3)/1= (z-6)/3}
     A direção de r1 é dada pelo vetor v1= (2, 3, 4) que passa pelo ponto A1(2, 0, 5).
     A direção de r2 é dada pelo vetor  v2= (-1, 1, 3) que passa pelo ponto A2(-5, -3, 6)
     O vetor determinado pelos pontos A1 e A2 é A1A2 = (-7, -3, 1)
     Para as retas serem coplanares é necessário que seja nulo o produto misto (v1, v2 , A1, A2), sendo assim:

Ilustração 9: Matriz para cálculo do produto misto

Fonte: Autoria própria

     Ao calcularmos o determinante obtemos: 2 – 63 + 12 + 28 + 18 + 3= 0. Como o produto misto é nulo, provamos que as retas r1 e r2 são coplanares.

Referências:
http://www.matematica.pucminas.br/profs/web_fabiano/calculo1/lineares.pdf
http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
1 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;
2 Retas. Disponível http://www.pucrs.br/famat/augusto/alga/Alga0402.pdf
Observações: os vetores estão representados em negrito.