Equações Paramétricas da Reta

     Para um ponto conhecido A (x1, y1, z1), um ponto qualquer P (x, y, z) e um vetor diretor v (a, b, c) tem-se a equação vetorial da reta dada por: (1)

     P = A + tV ou (x , y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c). Desenvolvendo essa equação, tem-se:

     (x , y, z) = (x1, y1, z1) + (ta, tb, tc), (x, y, z) = (x1 + ta, y1 + tb, z1 +tc).

     Assim:

     x = x1 + at; y = y1 + bt; z = z1 + ct.

     Tais equações são denominadas equações paramétricas da reta. (1)

     Exemplo 1:

     Escreva as equações paramétricas da reta que passa por A (3,-4,2) e é paralela ao vetor v (2,1,-3):

     Temos que: x1 = 3 e a = 2; y1 = -4 e b = 1; z1 = 2 e c = -3. 

     Assim: x = 3 + 2t; y = -4 + t; z = 2 - 3t.

     Exemplo 2:

     Determinar o ponto P da reta que tem abscissa 4:

    Pode-se substituir o valor fornecido para x para encontrar o valor de t e, assim, encontrar os valores de y e de z: 4 = 2 -t; 4-2 = -t; t= -2.

     Assim pode-se achar o valor de y: y = 3 - 2, y = 1. Pode-se também encontrar o valor de z:

     z = 1 -2(-2), z= 1 +4, z = 5.

     Conclusão: temos que P = (4, 1, 5).

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observação: os vetores estão representados em negrito.