Equações Reduzidas da Reta

     A partir das equações simétricas da reta é possível obter as equações reduzidas. Para tanto, deve-se isolar duas variáveis e deixá-las em função da terceira. Para uma reta r que passa pelo ponto conhecido A (x1, y1, z1) e tem V (a,b,c) como vetor diretor tem-se: (1)

     (x - x1)/a = (y - y1 )/b = (z - z1 )/c. Isolando y e z em função de x, tem-se:

•      Para y:

     (x - x1)/a = (y - y1 )/b. Logo, y - y1 = b/a ( x - x1) e y = bx/a - bx1/a + y1.

     Adotando: b/a = m ; - bx1/a + y1 = n, tem-se que: y = mx + n.

•      Para z:

     z - z1 = c/a (x - x1). Logo, z = cx/a - cx1/a + z1.

   Adotando: c/a = p ; - cx1/a + z1 = q, tem-se que: z = px +q. Portanto, as equações reduzidas da reta r na variável x são:

     y = mx + n

     z = px +q     

   

     Observação: 

     Há dois métodos de obter-se o vetor diretor a partir das equações reduzidas da reta: (2)

     a) Encontrar 2 pontos A e B da reta e obter o vetor AB = B - A. Este vetor AB é o vetor diretor. (2)

     b) Para as equações reduzidas na variável , isolar o x e obter as equações na forma simétrica. (2)

     Exemplo 1:

    Obter as equações reduzidas na variável x da reta que passa por A (2, -4, -3) e tem o vetor diretor v (1, 2, -3):

     y = mx + n, em que m = b/a e n = - bx1/a + y1

     m = 2/1 = 2; n = (-2.2)/1 -4 = -8. Logo, y = 2x -8.

     z = px + q, em que : p = c/a ; q = - cx1/a + z1.

     p = (-3)/1 = -3; q = (-(-3).2)/1 -3 = 3. Logo, z = -3x +3.

     Conclusão: a reta tem equações reduzidas: y = 2x -8 e z = -3x +3.

     Exemplo 2: 

     Obter o vetor diretor V (a, b, c) da reta cujas equações reduzidas são:

     y = 2x -8 e z= 5x/2 - 13.

     Deve-se isolar x e obter as equações simétricas:

     y  + 8 = 2x, então, x = (y+8)/2.

     z + 13 = 5x/2, então, z = (2z+26)/5.

     Assim, tem-se que as equações simétricas são: x/1=  (y+8)/2=(2z+26)/5.

     Conclusão: o vetor diretor V = (1, 2, 5)

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987

2 - Apostila de Geometria Analítica - Retas. UNESP

Observações: os vetores estão representados em negrito.