Perpendicularidade e Ortogonalidade Entre Retas

     A diferença entre retas ortogonais e retas perpendiculares é que duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou reversas e duas retas perpendiculares são obrigatoriamente reversas. A segunda é um caso particular da primeira. (1)
     Sejam as retas r1 e r2, não paralelas, com as direções dos vetores  v1 = (a1,b1,c1) e v2 = (a2,b2,c2), respectivamente. Qualquer reta r, simultaneamente ortogonal às retas r e s, terá um vetor diretor paralelo ou igual ao vetor v1 x v2 (ilustração 5). (2)

Ilustração 5: reta ortogonal a duas retas

Fonte : retirada de (2)

     Nas condições dadas, uma reta r estará bem definida quando se conhece um dos seus pontos. (2)

     Exemplo: 

     Verifique se as retas r: x = (1,1,1) + t = (2,1,-3) e s: x = (0,1,0) + t = (-1,2,0) são ortogonais. Caso sejam, verifique a perpendicularidade: (1)
     Solução

     r = (2,1,-3) e s = (-1,2,0) são, respectivamente, vetores diretores de r e s. logo:

     (2,1,-3)∙(-1,2,0) = (2)(-1) + (1)(2) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
     Decorre que as retas r e s são ortogonais. Vamos verificar se elas são concorrentes, para responder a segunda questão. O ponto A = (1,1,1) pertence a r, o ponto B = (0,1,0) pertence a s, e  BA = (1,0,1). Os vetores  BA, r e s são linearmente independentes, pois

     Logo, r e s são reversas. A conclusão é que são ortogonais, mas não perpendiculares.

     Exemplo: 

     Determinar as equações da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é ortogonal comum as retas: (2)

 
     Solução
     As direções de r e s são definidas pelos vetores v1 = (-1,2,-3) e v2 = (-3,0,-1)  Então, a reta r tem a direção do vetor:

     Logo, escrevendo as equações simétricas de r, vem:

Referências
(1) CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. -- 3ªed. rev e ampl -- São Paulo: Prentice Hall, 2005;
(2) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
Observação: os vetores estão representados em negrito.