Posições Relativas de Duas Retas

     São quatro as possibilidades para duas retas r e s de  : serem coplanares (concorrentes, paralelas distintas, paralelas coincidentes), reversas. (1)
     Coplanares, isto é, situadas no mesmo plano:

• Concorrentes: r ∩ s = I (I é o ponto de interseção das retas r e s)

          Ilustração 1 : Retas concorrentes

          Fonte: retirada de (2)

• Paralelas distintas: r ∩ s = ∅   ( ∅ é o conjunto vazio)

                    

Ilustração 2 : retas paralelas

Fonte : retirada de (2)

• Paralelas coincidentes: r ∩ s  = r = s

     Reversas: não situadas no mesmo plano. Nesse caso: r ∩ s = ∅  . (2)

Ilustração 3 : retas reversas

Fonte: retirada de (2)

     Considerando que  r é um vetor diretor de r e s é um vetor diretor de s e A e B são, respectivamente, pontos de r e s: (1)

• r e s serão reversas se, e somente se, (r, s, AB) são linearmente independentes (ilustração 4a). (r,s,AB) ≠ 0. (1) 
•    Equivalentemente, r e s são coplanares se, e somente se, (r, s, AB) são linearmente dependentes (inclui os casos de concorrentes, paralelas distintas, paralelas coincidentes); (r,s,AB) = 0. (1) 
• r e s serão paralelas se, e somente se, (r,s) são linearmente dependentes; (1)
• r e s serão concorrentes se, e somente se, são coplanares e não paralelas, isto é, (r, s, AB) são linearmente dependentes e  (r,s) são linearmente independentes (ilustração 4b)¹

Ilustração 4: retas reversas e retas coplanares

Fonte: retirado de (1)

     Exemplo: 

     Estudar a posição relativa das retas: (2)

     Solução

     São vetores diretores de r1 e r2 : v1 = (1,2,-1) e v2 = (-3,6,3)  . Como v2 = -3 v1 , as retas  r1 e r2 são paralelas e não coincidentes (basta ver que o ponto A1 = (0,-3,0) pertence a r1 e não pertence a r2).

Referências

(1) CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. -- 3ªed. rev e ampl -- São Paulo: Prentice Hall, 2005; 

(2) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987.

Observação: os vetores estão representados em negrito.