Equações Simétricas da Reta

     As equações simétricas são obtidas a partir das equações paramétricas. Tem-se que as paramétricas são definidas por: (1)

     x = x1 + at; y = y1 + bt; z = z1 + ct.                

     Isolando o parâmetro (t) em cada equação, tem-se:

     t=(x - x1)/a; t =  (y - y1 )/b; t =  (z - z1 )/c.

     Desse modo: (x - x1)/a = (y - y1 )/b = (z - z1 )/c

    Tais equações são denominadas equações simétricas, ou normais, da reta r que passa pelo ponto conhecido A (x1, y1, z1) , por um ponto qualquer P (x, y, z) e tem o vetor v (a, b, c) como vetor diretor. (1)

     Observação: 

     Para obter as equações simétricas da reta é necessário que o produto abc seja diferente de zero, isto é: abc ≠ 0 (1)

     Exemplo 1 :

     Obter as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A (3,0,5) e tem direção do vetor v (2, 2, -1):

     Substituindo (2,2,-1) no lugar de (a, b,c) e (3, 0,5) em (x1, y1, z1), obtemos as equações da reta

(x-3)/2  =  (y-0 )/2=  (z-(-5) )/(-1).

     Conclusão: as equações simétricas da reta são:(x-3)/2  = (y )/2  = (z+5 )/(-1)

  

     Exemplo 2:

     Determinar os pontos da reta r: (x-3)/2 = (y+1)/(-1) = z/(-2) que têm a) abscissa 5; b) ordenada 4; c) cota 1.

• a) Como x=5: (5-3)/2  = 1. Assim, pode-se calcular o valor de y:

     1 = (y +1)/(-1), y = -2. Também é possível calcular z:

     1 = z/(-2), z = -2.

     Conclusão: para abscissa 5, tem-se o ponto P (5, -2, -2)

• b) Como y = 4: (4+1)/(-1) = -5. Assim, pode-se calcular o valor de x:

     -5 = (x-3)/2, x= -7. Pode-se encontrar também o valor de z:

     -5 = z/(-2), z = 10.

     Conclusão: para ordenada 4, tem-se o ponto P (-7, 4, 10).

• c) Como z = 1: 1/(-2) = - -1/2. Assim, pode-se calcular o valor de x:

      - -1/2 = (x-3)/2, x = 2. Pode-se também encontrar o valor de y:

      - -1/2 = (y +1)/(-1), y = - -1/2 .

     Conclusão: para cota 1, tem-se o ponto P (2, - -1/2 , 1).

Referências:

1 - STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987

Observação: os vetores estão representados em negrito.