Planos Paralelos aos eixos e aos Planos coordenados

     Considerando a equação ax + by + cz +d = 0, em que a.b e c são não nulos, temos a equação de um plano genérico π, sendo o vetor n = (a,b,c) um vetor normal (perpendicular) a π. Quando d = 0 ou uma ou duas componentes de n são nulas, temos casos particulares que serão descritos a seguir: (1)

• Plano que passa pela origem

     Se o plano genérico ax + by + cz +d = 0 passa pela origem, isto é a(0) + b(0) + c(0) + d = 0, temos que d = 0, logo, a equação de um plano que passa pela origem é: ax + by + cz = 0. (1)

     Exemplo: 

     Dar a equação do plano que passa pela origem do sistema cartesiano e é normal ao vetor n = (2,2,4)

     O vetor n é um vetor normal ao plano, ou seja, é perpendicular a esse, logo,   a = 2, b = 2, c = 4. Com isso, temos que 2x + 2y + 4z + d = 0. Porém, esse plano passa pela origem, ou seja, pelo ponto  o = (0,0,0), com isso, já que todas as incógnitas correspondem a 0, temos que 2(0) + 2(0) + 4(0) + d = 0, então, d = 0.

     Conclusão: a equação desse plano é: 2x + 2y + 4z = 0

• Planos Paralelos aos eixos coordenados

     Se o vetor normal n é do tipo (0,b,c), por exemplo, ao multiplica-lo pelo vetor i = (1,0,0), tempos que(n)(i) = (0,b,c) (1,0,0) = 0, ou seja, n é ortogonal a i, logo, é paralelo ao eixo “ox”. Com isso, a equação de um plano paralelo ao eixo “ox” é by + cz + d = 0. (2)

     Como exemplo temos a ilustração de um plano de equação 2y + 3z – 6 = 0

Ilustração 1: Demonstração de plano paralelo ao eixo “ox”

Fonte: Retirado de (1)

     Analogamente, os planos paralelos ao eixo “oy” possuirão um vetor normal do tipo n = (a,0,c), sendo compostos pela equação geral ax + cz + d = 0. O mesmo pode ser observado em planos paralelos ao eixo “oz”, com vetor normal do tipo n = (a,b,0) e equação geral ax + by + d = 0. Com isso, pode-se concluir que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo dessa variável. (2)

     Observação: 

• No espaço |R3 uma equação do tipo ax + by + d = 0 representa um plano, porém, ao ser interpretada em |R2, representa uma reta. (1)
• Se na equação ax + by + d = 0, tivermos d = 0, ax + by = 0 corresponde a um plano paralelo ao eixo “oz” que passa pela origem. (1)

     Exemplo: 

    Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A = (0,1,2) e B = (1,3,0) e seja paralelo ao eixo x: (3)

    Como o plano é paralelo ao eixo x, utilizamos como base o vetor i = (1,0,0). Além disso, passa pelos pontos A = (0,1,2)  e AB = B – A = (1,3,0) – (0,1,2) = (1,2,-2) . Com isso, pode-se montar uma matriz contendo os vetores u – A = (x,y,z) – (0,1,2) = (x, y-1, z-2), i = (1,0,0) e AB = (1,2,-2). Logo:

Ilustração 2: Matriz para cálculo de equação de plano

Autoria Própria

      Calculando o determinante da matriz, obtemos a equação da reta, que corresponde a: y + z - 3 = 0. 

• Planos paralelos aos planos coordenados

     Se duas componentes do vetor normal n = (a,b,c) são nulas, n é colinear a um dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). Logo, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores. (1)

     Em um plano que possui o vetor normal n = (0,0,c), a equação geral desse plano é cz + d = 0. Como c difere de 0, temos que z = -d/c. Com isso, podemos concluir que, planos cujas equações são da forma z = k, com k pertencente aos números reais, são planos paralelos aos eixos “xoy”. (1)

     Como por exemplo, o plano z = 4:

Ilustração três: Vetor paralelo ao eixo “xoy”

Retirado de 1

     Como é possível observar na imagem, quando um plano é paralelo ao eixo “xoy”, esse é também perpendicular ao eixo “oz”. Analogamente temos que um plano da forma x = k é paralelo ao eixo “yoz” e perpendicular ao eixo “ox”, ao mesmo tempo em que um plano de forma y = k é paralelo ao eixo “xoz” e perpendicular ao eixo “oy”. (2)

     Exemplo:

     Determinar a equação geral do plano que passa por A = (2,3,4) e é paralelo aos vetores v1 = j + k e v2 = j - k (1)

    Como j = (0,1,0), k = (0,0,1) temos que v1 = (0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1). Além disso, o plano para por A, logo, temos que u = (x,y,z) – A = (2,3,4) = (x-2, y-3, z-4). Com esses vetores, podemos montar uma matriz e calcular seu determinante, encontrando assim a equação do plano sugerido.

Ilustração 4: Matriz para cálculo da equação do plano 2

Autoria própria

     Calculando o det(B) encontramos a equação do plano que corresponde a: x = 2, logo, é um plano perpendicular ao eixo “ox” e paralelo aos eixos “yoz”. 

Ilustração 5: Plano x = 2

Retirado de 1

Referências

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

(2) SALOMÃO, Maria Ignez Sampaio. Geometria Analítica – Planos;

(3) Planos. Disponível online em < http://people.ufpr.br/~roman/files/GA6.pdf> Acesso em 05 mai. 2015.

Observação: os vetores estão representados em negrito.