Equação geral do plano

     Um plano π estará contido no espaço tridimensional se dado um ponto A (x1,y1,z1) e um vetor n = ai + bj + ck, n diferente de (0,0,0), tal que o vetor n seja ortogonal a todos os vetores AP, sendo P (x,y,z).

     Por definição: n.AP = 0

     Plano π:

Figura 1: Vetores AP e n representados no plano π

Adaptado de (1)

     Se n = (a,b,c) e AP= (x-x1, y-y1, z-z1) , teremos: (a,b,c)(x - x1, y - y1, z - z1) = 0

     ax - ax1 + by - by1 + cz-  cz1 = 0 , reagrupando: ax + by + cz - ax1 - by1 - cz1 = 0. Considerando -ax1 - by1 - cz1 = d: ax + by + cz = 0, definindo assim a equação geral de um plano π.

Observações:

1. O vetor n ortogonal ao plano π, quando multiplicado por um escalar k diferente de 0 irá gerar um vetor kn também ortogonal a todos os pontos contidos no plano π.
2. Sendo v1 e v¬2 dois vetores não colineares e paralelos ao plano π, o produto v1 x v¬¬2 dará origem a um vetor n que será ao mesmo tempo ortogonal a v1 e v2 e ao plano π.
3. Sendo a equação geral do plano definida por ax+by+cz+d = 0 , os coeficientes a,b e c representam as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano, sendo assim, o coeficiente d nos permite diferencias infinitos plano paralelos entre si.

     Exemplo: 

     π 1 : 4x-5y+z+1 = 0

     π2 : 4x-5y+z+2 = 0

     Os planos π 1 e π2 são paralelos, pois dπ1 = 1 e dπ2 = 2 , sendo que ambos são ortogonais ao vetor n = (a,b,c) = (4,-5,1).

     Exemplo:

     Escrever a equação do plano π que passa pelo ponto A(3,1,-4) e é paralelo ao plano π1 : 2x - 3y + z - 6 = 0

     Sabemos que o vetor n = (2,-3,1) é ortogonal a π1 , então ele consequentemente também será normal com relação a π, pois π e π1 são paralelos.

     Pela definição: n.AP = 0. (2,-3,1)(x - 3,y - 1,z + 4) = 0. Logo, 2x - 6 - 3y + 3 + z + 4 = 0. Consequentemente, 2x - 3y + z + 1 = 0

     Conclusão: A equação do plano π é igual a 2x-3y+z+1 = 0

     Resolvendo de outra maneira:

    2x - 3y + z + d = 0, pois vimos que d é o coeficiente que diferencia dois planos paralelos. Mas como A(3,1,-4) pertence a  π, teremos que: 2(3) - 3(1) - 4 + d = 0. Logo, 6 - 3 - 4 + d = 0 e d = 1 , portanto a equação será 2x - 3y + z + 1 = 0.

Referências:

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.