Ângulo de Dois Planos

     Sejam os planos π1 = a1x + b1y + c1z + d = 0; π2 = a2x + b2y + c2z + d = 0. Com isso, os vetores n1 = (a1,b1,c1) e n2 = (a2,b2,c2) são vetores normais a π1 e π2 respectivamente. (1)

     Chama-se “ângulo de dois planos” o ângulo formado entre os dois vetores normais a esses planos, logo, calcula-se o ângulo de dois planos da mesma forma que se calcula o ângulo entre dois vetores: cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||  (1)

     Exemplo: 

     Determinar o ângulo entre os planos π1 = 2x - 3y + 5z - 8 = 0; π2 = 3x + 2y + 5z - 4 = 0 (1)

     n1 = (2,-3,5) e n2 = (3,2,5), logo, como cos θ = |n1 . n2|/||n1|| ||n2||, temos que:

    cos θ = |(2,-3,5) . (3,2,5)|/√[2²+(-3)²+5²]  √[3²+2²+5²]. Com isso, cos θ = 25/√38 √38. Isso implica que cos θ = 25/38. Para encontrarmos o valor de θ, devemos encontrar θ = arc cos 25/38. Logo, θ = 48,86°.

• Condições de paralelismo e perpendicularismo entre dois planos

     Sejam os planos π1 = a1x + b1y + c1z + d = 0; π2 = a2x + b2y + c2z + d = 0. Com isso, os vetores n1 = (a1,b1,c1) e n2 = (a2,b2,c2) são vetores normais a π1 e π2 respectivamente. (1)

     Dois planos serão perpendiculares na seguinte condição:

• a1a2 + b1b2 +c1c2 = 0, ou seja, n1 e n2 são ortogonais. (2)

     Para que os planos sejam paralelos, temos as seguintes condições:

• (a1/a2) = (b1/b2) = c1/c2)
• a1 = a2; b1 = b2; c1 = c2, d1 diferente de d2. (2)

     Caso (a1/a2) = (b1/b2) = (c1/c2) = (d1/d2), os planos serão coincidentes, já que a equação de um dos planos será derivada da multiplicação entre um número e a equação do outro plano.  (2)

     Exemplo: 

     Calcular os valores de m e n para que o plano π1 = (2m-1)x - 2y + nz - 3 = 0 seja paralelo ao plano π2 = 4x + 4y - z = 0 (1)

     Verificando as condições de paralelismo, tempos que: (2m - 1)/4 = -2/4 = n/-1. 

     Analisando (2m - 1)/4 = -2/4 temos que: 2m - 1 = -2. Logo, 2m = -1. Com isso, m = -1/2.

     Analisando -2/4 = n/-1 temos que: 2 = 4n. Logo, n = 2/4 = 1/2

Referências

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

(2) SALOMÃO, Maria Ignez Sampaio. Geometria Analítica – Planos. 

Observação: os vetores estão representados em negrito.