Equação Paramétrica do Plano

     “Seja A = (Xo, Yo, Zo) um ponto de um plano e u = (a1,b1,c1), v = (a2,b2,c2) dois vetores não colineares. Um ponto P = (X,Y,Z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores u e v, se e somente se, existem números reais h e t tais que: AP = hu + tv.” (1)

Ilustração 1: Demonstração

Adaptado de 1

     Escrevendo a equação acima temos: (X,Y,Z) – (Xo,Yo,Zo) = h(a1,b1,c1) + y(a2,b2,c2). Com isso, tempos: (X,Y,Z) = (Xo,Yo,Zo) + h(a1,b1,c1) + t(a2,b2,c2). Efetuando a operação: (X,Y,Z) = (Xo+ha1+ ta2,Yo+hb1+tb2,Zo+hc1+tc2). Logo,      X = Xo + ha1 + ta2; Y = Yo + hb1 + tb2; Z = Zo + hc3 + tc3. Essa é a equação paramétrica do plano, ou seja, ao atribuir valores a h e t, obteremos as coordenadas dos pontos inseridos dentro do plano. (1)

     Exemplo:

   Encontre as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A = (2,1,3) e é paralelo aos vetores u = (-3,-3,1) e v = (2,1,-2).1

    Os valores Xo, Yo e Zo correspondem aos valores do ponto A, logo, Xo = 2, Yo = 1 e Zo = 3. Os valores a1,b1,c1, correspondem aos valores do vetor u, então, temos que: a1 = b1 = -3, c1 = 1.       Analogamente, a2 = 2, b2 = 1 e c2 = -2. Com esses dados, e a equação geral paramétrica, podemos escrever as equações paramétricas para esse plano.

     X = 2 -3h +2t;  Y = 1 -3h +t;  Z = 3 +h -2t.

    Atribuindo valores para h (3) e t (2), podemos encontrar um ponto inserido no plano, então temos que:

     X = 2 -3(3) +2(2) = 2-9+4 = -3;   Y = 1 -3(3) +2 = 1-9+2 = -6; Z = 3 +3 -2(2) = 3+3-4 = 2. Com isso, temos que o ponto B = (-3,-6,2) está inserido no plano.

Referências

(1) STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.