Interseção entre reta e plano

     De modo geral, o ponto de interseção entre uma reta e um plano pode ser determinado através de um sistema feito entre ambas as equações.

     Exemplo:
 

• Interseção de plano com os eixos coordenados

     Se um plano π ax + by + cz + d = 0 não é paralelo a nenhum eixo coordenado, isto é a,b e c diferentes de zero, e não passa pela origem, d diferente de 0, os pontos onde ocorre a interseção com os eixos x,y e z podem ser encontrados utilizando-se a equação segmentária:

      

    Caso contrário, os mesmo podem ser encontrados igualando-se duas variáveis da equação do plano a zero.

     Exemplo:

     Determinar os pontos de interseção entre o plano π: 2x - 3y + 5z - 8 = 0 e os eixos coordenados, assim como a equação das retas que ligam os mesmos.

     Primeiramente encontraremos os pontos de interseção do plano com os eixos através da equação segmentária:

 

• Reta que passa entre x e y

     Como ela será paralela ao eixo xOy, z é igual a zero.

• Entre x e z

• Entre y e z

• Exercícios propostos

1. Determinar a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(-1,2,0), B(2,-1,1) e C(1,1,-1)

     Podemos definir os seguintes vetores: AB = (3,-3,1) e AC = (2,-1,-1). O produto externo entre eles dará origem a um vetor n ortogonal ao plano.

     A equação se formará da seguinte maneira com o vetor n(4,5,3): 4x + 5y + 3z + d = 0. Para encontrar o valor de d, basta substituir os valores de um dos pontos na equação. Consideremos A(-1,2,0):

     4(-1)+5(2)+3(0)+d = 0. Logo, -4 + 10 + d = 0 e d = -6. Portanto a equação será: 4x+5y+3z-6 = 0

     2.  Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(6,0,-2) e é paralelo aos vetores i e -2j + k.

     Temos os vetores v1 = (1,0,0) e  v2 = (0,-2,1).

     Portanto, a equação geral do plano terá a seguinte forma: -y - 2z + d = 0. Substituindo o ponto A(6,0,-2), temos que: -0 - 2(-2) + d = 0. Com isso, -4 + d = 0 e d = -4.

     Equação geral: -y - 2z - 4 = 0 , multiplicando por (-1) => y + 2z + 4 = 0

     3.  Determinar a equação geral do plano paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1).

     AB = (-2,1,1)

     Se o plano é paralelo ao eixo dos y, qualquer vetor paralelo a y consequentemente será paralelo ao plano, portanto, podemos considerar o vetor v = (0,1,0).

     Calculando o produto externo AB x v , teremos:

     Como os coeficientes da equação geral do plano ax + by + cz + d = 0 correspondem aos valores de x,y e z do vetor ortogonal a si, a equação terá a seguinte forma: -x - 2z + d = 0.

     Substituindo os valores do ponto A(2,1,0) na equação geral, obtemos o valor de d: -2 - 2(0) + d = 0 e d = 2.

     Equação geral do plano: -x - 2z + 2 = 0 , multiplicando por (1) => x + 2z - 2 = 0

Referências:

STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;

Observação: os vetores estão representados em negrito.