Ponto que Divide um Segmento de Reta numa Razão Dada

     Dados os pontos  , diz-se que um ponto P(x,y,z) divide o segmento de reta   na razão r (ilustração 1) se: 

     

Ilustração 1 : ponto que divide um segmento de reta

Fonte:  retirada de 1

     Com isso, temos a equação 1: 

     Conclusão:

    (x,y,z) são as coordenadas do ponto P que divide o segmento de reta P1P2 na razão r.

     Exemplo: 

    O ponto P( 9, 14, 7) divide o segmento P1P2 na razão 2/3. Determinar P2, sabendo que P1 (1, 4, 3).

     Solução: substituindo na equação 1, pode-se obter as coordenadas de P2. Assim:

     P( 9, 14, 7) = (x, y, z), então P1 (1, 4, 3) = (x1, y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2). Com isso temos que:

     9 = (1 - 2/3  x2)/(1- 2/3). Logo, x2  = -3;

    14 = (4 - 2/3  y2)/(1- 2/3). Logo, y2 = -1;

     7 = (3 - 2/3  z2)/(1- 2/3). Logo, z2 = 1.

     Com isso, tem-se P2 (-3,-1,1).

Referencias: 

¹ STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987;